Definición

Se denomina curva cónica a aquella superficie plana que se produce por la sección de un plano con una superficie cónica de revolución*. Según la posición del plano respecto del eje y la generatriz del cono se obtienen cuatro curvas cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; también reciben el nombre de sección cónica por su obtención.

Cuando el plano es oblicuo y corta a todas las generatrices del cono, la sección producida es una elipse.
Si el plano sección es paralelo a una de las generatrices, y oblicuo al eje la curva generada será una parábola; en el caso de que el plano sea paralelo al eje la curva que se obtiene será una hipérbola

*superficie cónica de revolución: Es aquella que se forma por el giro constante de una recta (generatriz) apoyándose en un punto fijo(vértice) alrededor de un eje, según una dirección circular (directriz)

Orígenes

Se sabe que el estudio de las cónicas se inició con Menecmo, geómetra de la escuela platónica, quién las consideraba originadas al cortar un plano fijo por conos de diferente abertura. No será hasta Apolonio de Perga (262-190 a.C) cuando se estudie en profundidad estas curvas, Apolónio fue el primero que planteó las cónicas como secciones obtenidas al cortar una superficie cónica por un plano con diferentes inclinaciones respecto del eje.

Recogerá todos sus conocimientos sobre estas curvas y los de matemáticos anteriores en un libro denominádo "Cónicas" que consta de ocho volumenes. En los cuatro primero tratan los conocimientos que se tenían de las cónicas por otros matemáticos griegos y en los siguientes recoge un estudio detallado de las diferentes curvas demostrando sus propiedades.

Teorema de Dandelín

Este matemático francés (1794-1847) explica la construcción de las diferentes curvas cónicas basándose en las esferas tangentes interiores al plano secante y al cono. En geometría descriptiva demuestra que el foco, o los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencias del plano secante con las esfereas inscritas a la superficie cóncia. Además según su teorema se obtiene una nueva definición basandose en la excentricidad.

Por lo que, curva cónica se definirá también, como lugar geométrico de los puntos del plano cuya relación de distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz es una constante. A la constante la llamaremos excentricidad y es la relación existente entre las distancias de un punto cualquiera de la curva cónica, al foco y a la directriz correspondiente.

Como puedes ver en el dibujo en la elipse la excentricidad es < 1, en la parábola es = 1 y en la hipérbola es > 1

Aplicación del teorema de Dandelín a las diferentes curvas cónicas

A partir de una superficie cónica de revolución se traza un plano secante (P), que corte a la superficie; dibujamos las esferas inscritas a dicha superficie y tangentes al plano (P). Si observamos según el teorema de Dandelín los puntos de tangencias entre las esferas y el plano secante son los focos (F, F') de la superficie cónica.
Y si dibujamos los planos de contacto, que pasan por los puntos de tangencia de las esfera inscrita con la superficie, hallaremos la recta directriz que parte del punto intersección entre el plano de contacto y el plano secante, y es perpendicular al plano secante.